MATEMATIKA dan FILSAFAT MATEMATIKA

A.    PENDAHULUAN

Matematika merupakan subjek yang sangat penting dalam sistem pendidikan di seluruh dunia. Negara yang mengabaikan pendidikan sebagai prioritas utama akan tertinggal dari kemajuan segala bidang, disbanding Negara lain yang memberikan tempat bagi matematika sebagai subjek yang sangat penting.Kedudukan filsafat pengetahuan yang tugasnya ialah menyoroti gejala pengetahuan manusia berdasarkan sudut sebab mushabab. Pokok-pokok bahasan apakah suatu pengetahuan itu benar dan tetap dan terpercaya, tidak berubah atau malah berubah-ubah terus, bergerak dan berkembang.   Filsafat adalah suatu ilmu yang kajiannya tidak hanya terbatas pada fakta-fakta saja melainkan sampai jauh diluar fakta hingga batas kemampuan logika manusia. Batas kajian ilmu adalah fakta sedangkan batas kajian filsafat adalah logika atau daya pikir manusia. Ilmu menjawab pertanyaan “why” dan “how” sedangkan filsafat menjawab pertanyaan “why, why, dan why” dan seterusnya sampai jawaban paling akhir yang dapat diberikan oleh pikiran atau budi manusia (mungkin juga pertanyaan-pertanyaannya terus dilakukan sampai never ending) .

Jika matematika dianggap sebagai ilmu, maka filsafat pada dasarnya bukanlah ilmu, tetapi suatu usaha manusia untuk memuaskan dirinya selagi suatu fenomena tidak / belum dapat dijelaskan secara keilmuan. Ada juga yang mengatakan filsafat matematika dapat dianggap sebagai cabang dari filsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti filsafat fisika dan filsafat biologi.Namun, karena pokok permasalahannya, filsafat matematika menempati tempat khusus dalam filsafat ilmu. Sedangkan ilmu alam menyelidiki entitas yang berada dalam ruang dan waktu, itu sama sekali tidak jelas bahwa ini juga kasus yang berhubungan dengan objek yang dipelajari dalam matematika. Selain itu, metode investigasi matematika berbeda dari metode-metode penyelidikan dalam ilmu alam. Sedangkan yang terakhir memperoleh pengetahuan umum menggunakan metode induktif, pengetahuan matematika tampaknya diperoleh dengan cara yang berbeda, yaitu, dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar. Status pengetahuan matematika juga tampaknya berbeda dari status pengetahuan dalam ilmu alam. Teori-teori ilmu-ilmu alam tampaknya kurang yakin dan lebih terbuka untuk revisi dari teori matematika. Untuk matematika alasan menimbulkan masalah dari jenis yang cukup khusus untuk filsafat. Oleh karena itu filsuf telah diberikan perhatian khusus untuk pertanyaan-pertanyaan ontologis dan epistemologis tentang matematika.

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mempelajari asumsi-asumsi yang bersifat filsafat, dasar-dasar, dan  implikasi-implikasi matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk meyediakan perhitungan dasar dan metodologi matematika serta memahami bagian dari matematika dalam kehidupan kita. Secara logika dan sifat dasar  matematika itu sendiri membuat pengajaran tentang filsafat matematika itu luas dan unik diantara filsafat-filsafat ilmu lainnya. Tema-tema dalam filsafat matematika termasuk di dalamnya adalah:

• Apa sumber-sumber dari pokok persoalan matematik?
• Apakah status ontology matematik sungguh-sungguh ada?
• Apakah itu berarti mengacu pada obyek matematik?
• Apa karakter dari proposisi matematik?
• Apa hubungan antara logika dengan matematika?
• Apa peran hermeneutika dalam matematika?
• Pemeriksaan macam apa yang memainkan peran dalam matematika?
• Apa tujuan dari penelitian matematik?
• Apa yang matematika berikan sebagai pegangan dalam pengalaman di kehidupan?
• Apa karakter manusia di belakang matematika?
• Apa keindahan matematik itu?
• Apa sumber-sumber dan sifat dasar dari kebenaran matematik?
• Apa hubungan antara dunia abstrak matematika dengan benda-benda alam semesta?
• Apakah bahasa matematika itu absolut dan universal? (tema ini biasa dalam genre Science-Fiction)

Filsafat matematika bisa digunakan untuk memformalkan pokok masalah secara filsafat, seperti estetika, etika, logika, metafisika, ataupun teologika, dalam bentuk isi pokok yang lebih eksak dan lebih teliti, sebagai contoh adalah kerja dari para kelompok teologi Scholastic, atau tujuan-tujuan yang sistematik dari Leibniz dan Spinoza. Pengertian lain adalah mengacu pada filsafat kerja dari para praktisi secara individu atau komunitas para matematikawan yang berpikiran lebih suka pada praktek. Sebagai tambahan, beberapa pemahaman terhadap batasan filsafat matematik dari suatu kiasan kepada pendekatan yang ditulis oleh Bertrand Russell dalam bukunya Introduction to Mathematical Philosophy.

B.     Tinjauan Sejarah

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa. Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkali benar atau tidak perlu benar.

Banyak pemikir telah mengkontribusikan pemikirannya berkaitan dengan  sifat dasar matematika. Saat ini, beberapa ahli filsafat matematik berniat memberikan laporan bentuk penelitian dan hasil-hasil seperti yang mereka berlakukan, sementara yang lainnya menekankan peran mereka sendiri dari interpretasi sederhana sampai dengan analisis kritis. Ada dua macam tradisi dari filsafat matematik, yaitu filsafat Barat (Western philosophy)  dan filsafat Timur (Eastern philosophy). Filsafat Matematika Barat seperti Plato, yang mempelajari status ontologi dari obyek matematik, dan Aristotle, mempelajari logika serta isu-isu yang berkaitan dengan ketakhinggaan (aktual versus potensial).

Filsafat Matematika Yunani Greek dipengaruhi kuat oleh pengajaran geometri. Sebagai contoh, pada suatu ketika, orang Yunani memegang opini bahwa 1 (satu) adalah bukan bilangan, tetapi cukup sebuah unit sembarang dari panjang. Sebuah bilangan didefinisikan sebagai sebagai jumlah, sehingga sebagai contoh 3, digambarkan sebagai jumlah tertentu dari unit, jadi bukan benar-benar sebuah bilangan.

Dari sudut pandang lain, dengan argumen yang sama bahwa 2 bukanlah bilangan tetapi pengertian dasar dari sebuah pasangan. Sudut pandang ini datang dari sisi lurus geometri dan sudut pandang yang terbatas dari orang-orang Yunani, bahwa garis yang digambarkan dalam geometri diukur sebagai proporsi gamabr garis sembarang yang pertama, jadi juga sebuah bilangan pada garis bilangan yang diukur sebagai proporsi terhadap “bilangan” sembarang pertama atau “satu” .

Pemikiran awal bangsa Yunani tentang bilangan diakhiri dengan penemuan tentang keirrasionalan akar kuadrat dari bilangan dua. Hippasus, seorang murid Pythagoras, telah menunjukkan bahwa diagonal dari kuadrat unit tidak dapat dibandingkan dengan sisi (panjang unit)nya: dengan perkataan lain ia telah membuktikan bahwa tidak ada bilangan (rasional) yang menggambarkan secara akurat proporsi dari diagonal kuadrat unit terhadap sisinya. Hal ini disebabkan adanya re-evaluasi dari filsafat matematika bangsa Yunani. Menurut legenda, para pengikut kaum Pythagorean dibuat trauma dengan penemuan ini, mereka membunuh Hippasus untuk menghentikan penyebaran ide-idenya. Pemikiran-pemikiran bangsa Yunani tetap dominan sampai dengan abad ke-17. Pada saat ini, dimulai oleh Leibniz, fokus bergeser secara kuat ke hubungan antara matematika dengan logika. Pandangan ini telah mendominasi filsafat matematika sampai saatnya Frege dan Russell, yang dibawa oleh pengembangan dalam akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20

Beberapa tokoh filsafat matematika Yunani Kuno

1. Thales (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat postulat yang perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu Teorema Pythagoras namun dia berhasil  membuat pembuktian matematis. Pythagoras juga mengatakan bahwa alam diperintah oleh angka-angka (Arianto,2011).

3. Socrates (427-347 SM)

Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)

Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama.

C.     Filsafat Matematika dalam abad ke-20

Isu abadi dalam filsafat matematika tertuju pada hubungan antara logika dan matematika. Sementara para filsafat abad ke-20 melanjutkan untuk mempertanyakan pertanyaan-pertanyaan yang telah disebutkan pada awal artikel ini, dimana filsafat matematika dalam abad ke-20 telah mempunyai ciri utama yaitu berminat pada logika formal, teori himpunan, dan isu-isu mendasar. Adalah suatu teka-teki yang besar bahwa pada satu sisi kebenaran matematik tampaknya mempunyai keniscayaan yang menarik, tetapi di sisi lain sumber dari "kebenaran" mereka  tetap sukar dipahami. Investigasi terhadap isu-isu ini dikenal sebagai program dasar-dasar matematik.

Saat dimulainya abad ke-20, para ahli filsafat siap mulai untuk membagi ke dalam berbagai macam aliran pemikiran. Tiga aliran pemikiran, yaitu, formalisme, intuisionisme, dan logisisme, pada saat ini telah muncul, bagian dari tanggapan terhadap meningkatnya kekhawatiran bahwa matematika masih berdiri, khususnya analisis mati sampai standar ketidakpastian dan ketelitian telah dianggap remeh. 

Mengherankan bahwa pengembangan yang kontra secara intuisi dalam logika formal dan teori himpunan dalam abad ke-20 menyebabkan  pertanyaan baru mengenai apa yang secara tradisional disebut  dasar-dasar matematika. Sebagai abad yang terbuka, fokus awal menyangkut perluasan terhadap eksplorasi terbuka dari aksioma dasar matematika, pendekatan aksiomatiknya dianggap remeh karena waktu  Euclid sekitar 300 SM adalah sebagai basis dasar untuk matematika. Gagasan-gagasan tentang aksioma, proposisi dan pembuktian matematik, seperti juga gagasan tentang proposisi yang benar dari obyek matematik (lihat logika matematik), telah diformalkan, sehingga memungkinkan proposisi-proposisi tersebut diperlakukan secara matematik. Aksioma Zermelo-Fraenkel untuk teori himpunan dibuat formulasi yang menyediakan kerangka konseptual dimana banyak  tulisan matematik akan diinterpretasikan. Dalam  matematika seperti juga dalam fisika, gagasan-gagasan baru dan tak terduga telah muncul dan perubahan-perubahan yang signifikan pun dating. Dengan penomoran Gödel, proposisi-proposisi dapat diinterpretasikan  sebagai acuan terhadap dirinya sendiri atau proposisi-proposisi lain, memungkinkan pemeriksaan kedalam  kekonsistenan dari teori-teori matematk. Kritik yang refleksif ini, dimana teori di bawah  tinjauan "menjadi dirinya sendiri adalah obyek dari studi matematik " membawa Hilbert menyebut studi tersebut adalah  metamatematika atau teori pembuktian.

Pada abad pertengahan, sebuah teori matematik baru telah diciptakan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane, yang dikenal dengan teori kategori, dan teori ini menjadi pesaing baru bagi bahasa dasar dalam berfikir secara matematik (Mac Lane 1998).
Ketika filsafat menemukan sesuatu yang salah dengan ilmu pengetahuan, kadang-kadang kita berfikir bahwa ilmu pengetahuan harus diubah (paradox Russel), seperti Berkeley menentang terhadap ketakhinggaan, tetapi yang lebih sering terjadi adalah filsafat yang harus berubah. Tidak terpikirkan oleh kita semua bagaimana sulitnya filsafat menemukan matematik klasiknya (merupakan kesulitan yang murni); dan terpikir bahwa interpretasi filsafat terhadap matematik yang setiap kali diberikan adalah salah, dan interpretasi filsafat adalah sesuatu yang tidak dibutuhkan.

Filsafat matematika saat ini melanjutkan terus beberapa garis penyelidikan yang berbeda oleh para ahli filsafat matematik, para ahli logika, dan para ahli matematik serta ada banyak sekolah yang memikirkan tentang masalah ini

 D.   Aliran dalam Matematika

1. Formalisme

Formalis seperti David Hilbert (1642 –1943) berpendapat bahwa matematika adalah tidak lebih atau tidak kurang sebagai bahasa matematika. Hal ini disederhanakan sebagai deretan permainan dengan rangkaian tanda –tanda lingistik, seperti huruf-huruf dalam alpabet Bahasa Inggeris. Bilangan dua ditandai oleh beberapa tanda seperti 2, II atau SS0. Pada saat kita membaca kadang-kadang kita memaknai bacaan secara matematika, tetapi sebaliknya istilah matematika tidak memiliki sebarang perluasan makna (Anglin, 1994). Formalis memandang matematika sebagai suatu permainan formal yang tak bermakna (meaningless) dengan tulisan pada kertas, yang mengikuti aturan (Ernest, 1991). Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua dua tesis, yaitu:

a. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.

b. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.

Ada bermacam keberatan terhadap formalisme, antara lain; (1) formalis dalam memahami obyek matematika seperti lingkaran, sebagai sesuatu yang kongkrit, padahal tidak bergantung pada obyek fisik; (2) formalis tidak dapat menjamin permainan matematika itu konsisten. Keberatan tersebut dijawab formalis bahwa (1) lingkaran dan yang lainnya adalah obyek yang bersifat material dan (2) meskipun beberapa permainan itu tidak konsisten dan kadang-kadang trivial, tetapi yang lainnya tidak demikian (Anglin, 1994).

2.  Intuisionisme

Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991). Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain; (1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2) matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberata tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkansuatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).

3.  Logisisme

Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Pengakuan Bertrand Russell menerima logisime adalah yang paling jelas dan dalam rumusan yang sangat ekspilisit. Dua 3 pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu (1) semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika; (2) semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata (Ernest, 1991). Menurut Ernest (1991), ada beberapa keberatan terhadap logisisme antara lain:

a.       Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenaran-kebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi. B.

b.       Teorema Ketiddaksempurnaan Godel menyatakan bahwa bukti deduktif tidak cukup untuk mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika melalui logika belum cukup untuik menurunkan semua kebenaran matematika.

c.       Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme. Logika tidak menyediakan suatu dasar tertentu untuk pengetahuan matematika

E.     PENUTUP

Pada abad kedua puluh, penelitian dalam filsafat matematika berkisar kebanyakan sekitar sifat objek matematika, hukum-hukum dasar yang mengaturnya, dan bagaimana kita memperoleh pengetahuan matematika tentang mereka.

Sementara di dalam filsafat matematika, adanya pertentangan antara kaum rasionalis dan kaum empiris menimbulkan pengakuan mendalam akan sintesis Immanuel Kant bahwa matematika adalah ilmu yang bersifat sintetik a priori. Pengetahuan matematika di satu sisi bersifat “subserve” yaitu hasil dari sistesis pengalaman inderawi; di sisi yang lain matematika bersifat “superserve” yaitu pengetahuan a priori sebagai hasil dari konsep matematika yang bersifat immanen dikarenakan didalam pikiran kita sudah terdapat kategori-kategori yang memungkinkan kita dapat memahami matematika tersebut. Namun krisis pondasi matematika tidak berhenti sampai di sini. Pada akhir abad ke 19 Cantor menemukan dan mengembangkan teori himpunan. Di dalam pengembangan teori himpunan tersebut Cantor menghadapi persoalan paradoks matematika, yang menambah panjang deretan krisis di dalam pondasi matematika. Pada awal abad ke 20, karya besar telah dicapai oleh para filsuf dan matematisi dengan diletakkannya logika sebagai pondamen matematika. Sampai akhirnya ditemukan pula paradoks dari logika; sehingga hal yang demikian menggagalkan usaha Hilbert untuk membangun matematika sebagai suatu sistem di atas satu pondasi yang kokoh. Adalah muridnya sendiri Kurt Godel yang berhasil menyimpulkan bahwa jika sistem matematika bersifat lengkap maka dia pasti tidak konsisten; dan jika sistem matematika konsisten maka dia tidak akan bisa lengkap. Era filsafat kontemporer telah mendorong para filsuf dan matematisi untuk melihat kenyataan bahwa matematika bersifat multi-facet.

DAFTAR PUSTAKA

1. Aceng Rahmat; Arianto, Ismail; dkk. (2011). Filsafat Ilmu Lanjutan. Jakarta. Kencana
2. Anglin, WS. (1994). Mathematics : A Concise Hystory and Phylosophy. Undegraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
3. Colyvan, Mark. 2011. An Introduction to the Philosophy of Mathematics. Sidney. University Of Sidney
4. Ernest, P. (1991). The Philosophy of Mathematics Education. London: The Falmer Press
5. Gullberg, Jan. (1997). Mathematics From the birth of Numbers. WW Norton Company.
6. J J O'Connor dan E F Robertson (2006). Hystory of Mathematics
7. Russel, Bertrand (1974). Introduction to Mathematical Philosophy
8. http://id.wikipedia.org/wiki/Sempoa
9. http://www.unej.ac.id/fakultas/mipa/skripsi/widya.pdf
10. http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mpmt5101/index.html
11. http://marsigitphilosophy.blogspot.com/2008/12/pondasi-matematika-dari-plato-sampai.html
12. http://www.masbied.com/2010/03/20/filsafat-pendidikan-matematika/#more-2443
13. http://astutisetyoningsih.blogspot.com/
14. http://izoelsyifa.wordpress.com/